Question

函數f(x)對任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且當x＞0時，f(x)＞1，
(1)求證：f(x)是R上的增函數；
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m²-7)＜3．

Answer 1

(1)證明：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1，
∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1，
∵x₂-x₁＞0，由x＞0時，f(x)＞1，
∴f(x₂-x₁)＞1，
∴f(x₂-x₁)-1＞0，
∴f(x₂)-f(x₁)＞0，
∴f(x₂)＞f(x₁)，
∴f(x)是R上的增函數．
(2)解：∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1，
∴f(4)=f(2)+f(2)-1=5，
∴f(2)=3，
∵f(3m²-7)＜3，
∴f(3m²-7)＜f(2)，
∵f(x)是R上的增函數，則3m²-7＜2，
∴m²＜3，
∴，
∴不等式的解集為{m|}。