Question

已知函數f(x)=

4x2-7

2-x

，(x∈[0，1])
（1）求f（x）的值域A
（2）設a≥1，函數g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]的值域為B，若A⊆B成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法求函數的值域，設t=2-x，從而將函數轉化為關于變量t的函數，利用導數求其值域即可
（2）先利用導數證明函數g（x）在[0，1]上為減函數，從而求得集合B，再利用集合間的包含關系，列不等式求a的取值范圍

解答：解：（1）∵f(x)=

4x2-7

2-x

，(x∈[0，1])
∴設t=2-x，則t∈[1，2]
函數f（x）=h（t）=

4(2-t)2-7

t

=

4t2-16t+9

t

=4t+

9

t

-16，（t∈[1，2]）
∵h′（t）=4-

9

t 2

=

4(t- 3 2 )(t+ 3 2 )

t2

∴函數h（t）在[1，

3

2

）上為減函數，在[

3

2

，2]上為增函數，且h（1）=-3．h（2）=-

7

2

，h（

3

2

）=-4
∴h（t）∈[-4，-3]，
即f（x）的值域A=[-4，-3]
（2）∵函數g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]，
∴g′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），x∈[0，1]
∵a≥1，∴

a

≥1
∴g′（x）≤0
∴函數g（x）在[0，1]上為減函數，且g（0）=-2a，g（1）=1-5a
∴g（x）∈[1-5a，-2a]，即B=[1-5a，-2a]，
∵A⊆B，即[-4，-3]⊆[1-5a，-2a]，
∴

1-5a≤-4 -2a≥-3

解得1≤a≤

3

2

點評：本題考查了換元法求函數的值域，單調性法求函數的值域，導數在函數單調性和最值中的應用，集合間的包含關系