Question

函數f(x)=Asin(ωx-

π

6

)+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩個最高點之間的距離為π，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設α∈(0，

π

2

)，則f(

α

2

)=

2

+1，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）由函數的最值求出A，由周期求出ω，從而求得函數f（x）的解析式．
（2）根據α∈(0，

π

2

)，且f(

α

2

)=

2

+1，求得α=

π

6

+

π

4

，再利用兩角和的余弦公式求得cosα=cos(

π

6

+

π

4

)的值．

解答：解：（1）由題意可得，A+1=3，∴A=2，…（2分）
∵函數圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為π，∴最小正周期T=π=

2π

ω

，ω=2．…（4分）
故函數f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1．…（5分）
（2）∵f(

α

2

)=2sin(2×

α

2

-

π

6

)+1=

2

+1，即sin(α-

π

6

)=

2

2

．…（6分）
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，…（7分） 
∴α-

π

6

=

π

4

，α=

π

6

+

π

4

，…（10分）
故cosα=cos(

π

6

+

π

4

)=cos

π

6

cos

π

4

-sin

π

6

sin

π

4

=

6 - 2

4

．…（12分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+）的部分圖象求解析式，兩角和的余弦公式，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．