Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長是2 ，D 是棱BC 的中點，點M 在棱BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁。

（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ADC₁體積。

Answer 1

解：（I）證明：連接A₁C，交AC₁于點E，連接DE，
則DE是△A₁BC的中位線，
∴DE∥A₁B，
又DE?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B平面∥AC₁D；
（II）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是棱BC的中點，
則AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥MC，
∵CM⊥AC₁，AC₁∩AD=A
∴CM⊥平面AC₁
∴CM⊥C₁D，
∴∠CDC₁與∠MCB互余
∴tan∠CDC₁與tan∠MCB互為倒數
∵BM=B₁M，底面邊長是2
∴AA₁=2
連接B₁D，
則S_△B1C1D=2
∵AD⊥平面DC₁B₁，AD=
∴三棱錐B₁-ADC₁體積等于三棱錐A-B₁DC₁體積=×2×=