Question

設命題甲：直線x-y=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點；命題乙：函數f（x）=2^-|x+1|-a的圖象與x軸有交點，試判斷命題甲與命題乙的條件關系，并說明理由．

Answer 1

分析：根據直線與圓有公共點，用圓心到直線的距離小于圓的半徑得出a的范圍，再根據函數f（x）=2^-|x+1|-a的圖象與x軸有交點求出a的范圍，看前后推出的a的范圍之間的關系．

解答：解：命題甲：直線x-y=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點，則

|a-0|

12+12

≤1，所以-

2

≤a≤

2

．
命題乙：函數f（x）=2^-|x+1|-a的圖象與x軸有交點，等價于a=2^-|x+1|有解．
∵|x+1|≥0，所以-|x+1|≤0，所以0＜2^-|x+1|≤1，因此0＜a≤1．
由0＜a≤1⇒-

2

≤a≤

2

，反之不成立，
所以命題乙⇒命題甲，但命題甲不能推出命題乙，所以命題乙是命題甲的充分不必要條件．

點評：本題考查了必要條件、充分條件魚蟲要田間的判斷，判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．