Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，E是AB的中點，PC與平面ABCD所成角為30°．
（1）求二面角P-CE-D的大小；
（2）當AD為多長時，點D到平面PCE的距離為2．

Answer 1

【答案】分析：設AD的中點為O，BC的中點為F，以O為原點，AD為x軸正半軸，AP為z軸正半軸，OF為y軸正半軸建立空間直角坐標系，
（1）設平面PCE的一個法向量為．則二面角P-CE-D的大小即為此法向量與的夾角的大小．
（2）D（a，0，0），則，則點D到平面PCE的距離，d=2，則，AD=．
解答：解：設AD的中點為O，BC的中點為F，以O為原點，AD為x軸正半軸，AP為z軸正半軸，OF為y軸正半軸建立空間直角坐標系，
（1）連接OC，則∠PCO為PC與面AC所成的角，∠PCO=30°，
設AD=2a，則，
故，
則，，，
設平面PCE的一個法向量為．
則得，
又平面DCE的一個法向量），，
故二面角P-CE-D為（8分）
（2）D（a，0，0），則，
則點D到平面PCE的距離
d=2，則，AD=（12分）
點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．