Question

已知下列命題：
①?x∈R，|x-1|+|x+2|＞2；
②命題p：?x∈R，x²+x+1≠0，則￢p：?x∈R，x²+x+1=0；
③“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要條件；
④已知隨機變量P～N（2，σ²），P（ξ＜4）=0.6，則P（0＜ξ＜2）=0.1，
其中真命題有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①根據絕對值不等式|a|+|b|≥|a±b|，可求得|x-1|+|x+2|的最小值，然后確定①的真假；
②根據命題p：“?x∈R，x²+x+1≠0”是全稱命題，其否定為特稱命題，將“任意的”改為“存在”，“≠“改為“=”即可得答案．
③判斷由前者能否推出后者成立，反之通過解二次不等式判斷后者成立能否推出前者成立，利用充要條件的定義得到結論．
④隨機變量P～N（2，σ²），得出正態分布曲線關于ξ=2對稱，由此得出P（ξ＜0）=P（ξ＞4），再利用P（ξ＜4）=0.6，求出P（0＜ξ＜2）的值即得答案．
解答：解：①∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3.2，∴①?x∈R，|x-1|+|x+2|＞2，正確．
②：∵命題p：“?x∈R，x²+x+1≠0”是全稱命題
∴¬p：?x∈R，x²+x+1=0．故②是真命題．
③當x＞2成立時，有x²-3x+2＞0成立，
當x²-3x+2＞0成立時，有x＞2或x＜1，不一定有x＞2成立
故“x＞2”是x²-3x+2＞0的充分不必要條件，正確；
④：∵隨機變量P～N（2，σ²），
∴正態分布曲線關于ξ=2對稱，
又ξ＜0與ξ＞4關于ξ=2對稱，
∴P（ξ＞4）=P（ξ＜0），
∴P（ξ＜0）=0.4，
又∵P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4）=[1-2P（ξ＜0）]
∴P（0＜ξ＜2）=-P（ξ＜0）=0.1，故④正確．
故選D．
點評：本題借助考查命題的真假，命題的否定，考查了絕對值不等式|a|+|b|≥|a±b|，考查正態分布曲線的特點等．