Question

用數學歸納法證明貝努利（Bernoulli）不等式：如果x是實數，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有（1+x）ⁿ＞1+nx．

Answer 1

證明：（1）當n=2時，∵x≠0，∴（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，不等式成立；
（2）假設n=k（k≥2）時，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx
當n=k+1時，（1+x）^k+1＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx²＞1+（k+1）x
∴當n=k+1時，不等式成立
由（1）（2）可知，不等式成立．
分析：先證明n=2時結論成立，再假設n=k（k≥2）時，不等式成立，利用假設證明當n=k+1時，不等式成立即可．
點評：本題考查數學歸納法，考查不等式的證明，正確運用數學歸納法的證題步驟是關鍵．