Question

（本小題14分）已知函數(shù)．

⑴若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

⑵若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

⑵

⑶

【解析】解:⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)，．，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

⑵．令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立．由題意，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，∴，只需，即時(shí)，∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是．

⑶∵在上是減函數(shù)，∴時(shí)，；時(shí)，，即，

①當(dāng)時(shí)，，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052321160620316792/SYS201205232117261562673504_DA.files/image034.png">，所以，，此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)．故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，由，所以．又由⑵知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，∴，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，由⑵知在上是增函數(shù)，，又在上是減函數(shù)，故只需，，而，，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．