Question

18．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-bx （a，b∈R）．若y=f（x）圖象上的點（1，-$\frac{11}{3}$）處的切線斜率為-4．
（1）求a、b的值；
（2）求y=f（x）的極大值；
（3）對?x∈[-2，3]，都有f（x）-k＜0，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；
（3）根據函數的單調性求出函數的最大值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x²+2ax-b，
∴由題意可知：f′（1）=-4且f（1）=-$\frac{11}{3}$．
即$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-b=-4}\\{\frac{1}{3}+a-b=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
由此可知，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴當x=-1時，f（x）取極大值$\frac{5}{3}$．
（3）由（2）知y=f（x）在（-2，-1）內是增函數，在（-1，3）內是減函數，所以函數的最大值為$\frac{5}{3}$，
∵對?x∈[-2，3]，都有f（x）-k＜0．
∴k＞$\frac{5}{3}$，∴k的取值范圍為（$\frac{5}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．