Question

平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=2，AD=1，且AB，AD，AA₁的夾角都是60° 則

AC1

•

BD1

=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出向量

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，它們兩兩之間夾角為60⁰，然后表示出向量

AC1

，

BD1

，再利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：如圖，可設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
于是可得

AC1

=

AB

+

BC

+

CC1

=

AB

+

AD

+

AA1

=

a

+

b

+

c

，
同理可得

BD1

=-

a

+

b

+

c

，
于是有

AC1

•

BD1

=（

a

+

b

+

c

）•（-

a

+

b

+

c

）
=-

a

²+

b

²+

c

²+2

b

•

c

=-4+4+1+2×|

b

|•|

c

|cos60⁰
=1+2×2×1×

1

2

=3
故答案為：3

點評：本題考查空間向量的運(yùn)算：加法，減法及三角形法則，數(shù)乘運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算．