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已知二次函數(shù)f(x)=ax2bx+c.

(1)若a>b>c,且f(1)=0,試證明f(x)必有兩個零點(diǎn);

(2)若對x1x2R,且x1<x2f(x1)≠f(x2),方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有兩個不等實(shí)根,證明必有一實(shí)根屬于(x1x2).

證明:(1)∵f(1)=0,∴abc=0.

又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.

又∵Δb2-4ac≥-4ac>0,

∴方程ax2bxc=0有兩個不等實(shí)根,

∴函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn).

(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],

g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)]

g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)],

g(x1)g(x2)=[f(x1)-f(x2)]·[f(x2)-f(x1)]

=-[f(x1)-f(x2)]2.

f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.

g(x)=0在(x1x2)內(nèi)必有一實(shí)根.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=
5
2
-x
有等根
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)在定義域(-1,t]上的值域?yàn)椋?1,1],求t的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n),使f(x)定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n],若存在,求出m、n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1
的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱,記函數(shù) h(x)=
x
f(x)

(I)求b,c的值;
(Ⅱ)當(dāng)a=
1
10
時,求函數(shù)y=h(x)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)試討論函數(shù) y=h(x)的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個不相等的實(shí)根,當(dāng)a>0時判斷f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)若方程g(x)=x的兩實(shí)根為x1,x2f(x)=0的兩根為x3,x4,求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳,若對任意的x∈A,不等式x2-4x+k≥0成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個不相等的實(shí)根,當(dāng)a>0時判斷f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)b=2a時,問是否存在x的值,使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a,不等式f(x)<4恒成立?并說明理由.

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同步練習(xí)冊答案
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