Question

（本小題14分）已知直線經過橢圓的左頂點和上頂點，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點．

（1）求橢圓的方程；    

（2）求證:直線與直線斜率的乘積為定值；

（3）求線段的長度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為

    故橢圓的方程為                   ……………………………4分

（2）設直線AS的斜率，直線BS的斜率的乘積為=………………..8分

（3）解法一：直線AS的斜率顯然存在，且>0，故可設直線的方程為，

從而   由(2)知直線BS的方程為

從而，，當且僅當，即時等號成立

線段的長度取最小值   ……………………………………………14分

解法二：直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，

從而        由得0      

設則得，從而                       

即又由得 

故   又    當且僅當，即時等號成立

時，線段的長度取最小值   ………………………14分

 

【解析】略