Question

5．已知實數a＞0，且函數$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$為奇函數．判斷函數f（x）的單調性，并用單調性的定義證明．

Answer 1

分析 根據題意，由于函數f（x）是定義在R上的奇函數，則有f（0）=0，代入數據，計算可得a的值，對f（x）的表達式變形，用作差法判斷函數單調性即可．

解答 解：∵函數$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$為奇函數，實數a＞0，
∴有f（0）=0，即$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a=1，∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
理由：設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函數．

點評 本題考查函數的單調性、奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．