Question

已知函數f（x）=x（1-x）²．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）求實數a，b的值，使在區間[a，b]上的值域也為[a，b]；．
（3）是否存在區間[a，0]，使f（x）在區間[a，0]上的值域為[ka，0]，且使k的值最��？若存在，求出k的最小值及此時a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對于三次函數：“f（x）=x（1-x）²．的極值問題利用其導數解決；
（2）三次函數的值域問題，往往轉化為導數的問題，須針對最大值b與最小值a的取值情況進行討論；
（3）對于存在性問題，先假設存在，然后轉化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現矛盾，則肯定存在；若出現矛盾，則否定存在．
解答：解：（1）f（x）=x³+2x²+x，則f'（x）=3x²+4x+1（1分）
令f'（x）=0解得：，（2分）

∴f（x）的極大值為f（-1）=0，極小值為（4分）
（2）若最大值b與最小值a均在端點處取得，則有或（5分）
①當時，則a，b即為方程f（x）=x的解，解得x₁=0，x₂=-2．
當-2≤x≤0時，-2≤f（x）≤0，檢驗知符合題意（6分）
②當時，則有
相減得：（a-b）[a²+（b+2）a+（b²+2b+2）]=0．
又a≠b，而方程a²+（b+2）a+（b²+2b+2）=0中，方程無解，故此時a，b不存在．
（8分）
若最大值b在區間（a，b）內取得，則b必為f（x）的極大值0，但b=0時f（b）=b，矛盾．
若最小值a在區間（a，b）內取得，則a必為f（x）的極小值，但f（x）在區間上單調遞增，必有f（a）=a，矛盾．
綜上得：a=-2，b=0（10分）
（3）易知k＞0，．
若f（a）=ka，則a（1+a）²=ka即k=（1+a）²，而此時．
當時，，此時k有最小值為．
當時，，此時k有最小值（12分）
若最小值ka在區間（a，0）內取得，則ka必為f（x）的極小值，即，而此時，∴．
綜上得：k的最小值為，此時（14分）
點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值，最值問題，以及存在性問題的解決方法，對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設存在，然后轉化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現矛盾，則肯定存在；若出現矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法．