Question

已知拋物線C：x²=4y，直線l：y=-1．PA、PB為曲線C的兩切線，切點為A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；則甲是乙（　　）條件

• A、充要
• B、充分不必要
• C、必要不充分
• D、既不充分也不必要

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程設出A，B的坐標，把A，B點代入拋物線方程，對函數(shù)求導，進而分別表示出直線PA，PB的斜率，利用點斜式表示出兩直線的方程，聯(lián)立求得交點P的坐標，代入直線l的方程，求得

x1x2

4

代入兩直線的斜率的乘積中求得結果為-1進而可推斷出PA⊥PB；判斷出條件的充分性；同時根據(jù)PA⊥PB推斷出

x1x2

4

=-1，進而p在l上，判斷出條件的必要性，最后綜合可得答案．

解答：解：設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，由導數(shù)不難知道直線PA，PB的斜率分別為kPA=

1

2

x1，kPB=

1

2

x2．進一步得PA：y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

.①PB：y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

．②，由聯(lián)立①②可得點P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，
（1）因為P在l上，所以

x1x2

4

=-1，所以kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，所以PA⊥PB；∴甲是乙的充分條件
（2）若PA⊥PB，kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，即y_p=-1，從而點P在l上．∴甲是乙的必要條件，
故選A

點評：本題主要考查了拋物線的應用以及充分條件，必要條件和充要條件的判定．考查了學生推理能力和基礎知識的綜合運用．