Question

已知：f（x）=x²+px+q．求證：
（1）f（1）+f（3）-2f（2）=2；
（2）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）的解析式，分別將x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），進而求得f（1）+f（3）-2f（2）；
（1）“至少有一個不小于”的反面情況較簡單，比較方便證明，故從反面進行證明，用反證法．

解答：證明：（1）∵f（x）=x²+px+q
∴f（1）=1+p+qf（2）=4+2p+qf（3）=9+3p+q
所以f（1）+f（3）-2f（2）
=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）
=2；
（2）假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，
則|f(1)|＜

1

2

，|f(2)|＜

1

2

，|f(3)|＜

1

2

，
即有-

1

2

＜f(1)＜

1

2

-

1

2

＜f(2)＜

1

2

-

1

2

＜f(3)＜

1

2

∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由（1）可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
與-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假設不成立，即原命題成立．

點評：反證法是一種從反面的角度思考問題的證明方法，體現的原則是正難則反．反證法的基本思想：否定結論就會導致矛盾，證題模式可以簡要的概括為“否定→推理→否定”．實施的具體步驟是：
第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；
第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立．