Question

函數f（x）=lnx-

1

x-1

在區間（k，k+1）（k∈N*）上存在零點，則k的值為（　�。�

A．0

B．2

C．0或2

D．1或2

Answer 1

分析：利用導數求得函數f（x）在區間（0，1），及（1，+∞）都是單調增的，再根據 f（

1

e2

）＜0，f（

1

e

）＞0，可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，故函數f（x）在區間
（

1

e2

，

1

e

）上有一個零點，故函數f（x）在區間（0，1）上有一個零點，故k=0滿足條件．
同理由 f（2）f（3）＜0，可得函數在（2，3）上存在1個零點，故k=2滿足條件，綜合可得結論．

解答：解：由函數的解析式可得函數的定義域為{x|x＞0 且x≠1}，求得函數的導數f′（x）=

1

x

+

1

(x-1)2

 在它的定義域內為正實數，
故函數f（x）在區間（0，1），及（1，+∞）都是單調遞增的，
再根據 f（

1

e2

）=-2-

1

1 e2 -1

=-2+

e2

e2-1

=-2+

(e2-1)+1

e2-1

=-1+

1

e2-1

＜0，f（

1

e

）=-1+

e

e-1

=-1+

(e-1)+1

e-1

=

1

e-1

＞0，
可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，故函數f（x）在區間（

1

e2

 

1

e

）上有一個零點，故函數f（x）在區間（0，1）上有一個零點，故k=0滿足條件．
再由 f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-

1

2

＞0，f（2）f（3）＜0，可得函數在（2，3）上存在1個零點，故k=2滿足條件．
故選 C．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，函數零點的判定定理的應用，屬于基礎題