Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．

   （1）求證：平面PAD；

   （2）當平面PCD與平面ABCD成多大二面角時， 

 直線平面PCD？

Answer 1

證：（1）取CD中點G，連結EG、FG

∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG//AD，FG//PD，

∴平面EFG//平面PAD，

∴ EF//平面PAD． 

（2）當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF^平面PCD.

證明：∵G為CD中點，則EG^CD，∵PA^底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD內的射影。  ∵CDÌ平面ABCD，且CD^AD，故CD^PD   ．又∵FG∥PD∴FG^CD，故ÐEGF為平面PCD 與平面ABCD所成二面角的平面角，即ÐEGF=45°，從而得ÐADP=45°，  AD=AP.由RtDPAE@RtDCBE，得PE=CE.又F是PC的中點，∴EF^PC.

由CD^EG，CD^FG，得CD^平面EFG，∴CD^EF，即EF^CD，

故EF^平面PCD．