Question

平面直角坐標系xOy中，已知以O為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m）恒有公共點，且要求使圓O的面積最小．
（1）寫出圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內動點P使、、成等比數列，求的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知直線必過定點，而要使面積最小則定點一定在圓上，此時易求出圓的方程；
（2）根據圓與x軸相交，求出AB兩點坐標，根據P在圓內以及由使、、成等比數列分別求出一個關系式，兩個關系式聯立即可求出y²的取值范圍，最終判斷出的取值范圍
解答：解：（1）∵直線方程為y=mx+（3-4m）
∴易得l過定點T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點T（4，3）在圓上
∴圓O的方程為：x²+y²=25
（2）∵圓O與x軸相交于A、B兩點
故A（-5，0） B（5，0）
設P（x，y）為圓內任意一點
故：x²+y²＜25            ①
，
由使、、成等比數列得：
=•
∴x²+y²=•
整理得：x²-y²=         ②
由①②得：
0≤y²≤
=（x²-25）+y²=2y²-
∴∈[-，0）．
點評：本題考查向量的取值范圍問題，涉及到直線與圓的位置關系，以及等比數列問題．通過圓內任意點坐標滿足的兩個關系最終確定向量的取值范圍，屬于難題．