Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐D-AEC的體積；
（3）設M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE證明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根據線面垂直的判定定理證出AE⊥平面BCE，即證出AE⊥BE；
（2）由題意知AD⊥平面ABE，則過E點作EH⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，再根據條件求出EH和AB，利用換低求出三棱錐的體積；
（3）根據條件分別在△ABE中過M點作MG∥AE和△BEC中過G點作GN∥BC，根據線面平行的判定證出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE，由面面平行的判定證出平面MGN∥平面ADE，則得到N點在線段CE上的位置．

解答：解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，且BE?平面BCE，∴AE⊥BE
（2）過E點作EH⊥AB，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥EH，
∴EH⊥平面ABCD，
∵AE=EB=2，∴AB=2

2

，EH=

2

，
∴VD-AEC=VE-ADC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

（3）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，
∵AM=2MB，∴CN=

1

3

CE
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE
同理可證，GN∥平面ADE，
∵MG∩GN=G，∴平面MGN∥平面ADE
又∵MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE，
∴N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點

點評：本題是關于線線、線面和面面垂直與平行的綜合題，利用垂直與平行的判定（性質）定理，實現線線、線面和面面的相互轉化，注意利用的定理；并且求三棱錐的體積時常用換低來求解，考查了推理論證和邏輯思維能力．