Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點，E是AB的中點，P是△ABC（包括邊界）內任一點，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍是[-9，9]．

Answer 1

分析 以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，可求得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），令t=-4（x-2）+（y-1），則y=4x+t-7，利用線性規劃即可求得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍．

解答 解：以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，

則A（4，0）、B（0，2）、D（0，1）、E（2，1），
又P是△ABC（包括邊界）內任一點，設P（x，y），
則$\overrightarrow{AD}$=（-4，1），$\overrightarrow{EP}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），
令t=-4（x-2）+（y-1），則y=4x+t-7，
由圖知，當直線y=4x+t-7過B（0，2）時，在y軸的截矩最大，此時t=2+7=9；
當直線y=4x+t-7過A（4，0）時，在y軸的截矩最小，此時t=-16+7=-9；
所以，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$的取值范圍是[-9，9]，
故答案為：[-9，9]．

點評 本題考查平面向量數量積的坐標運算，將$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EP}$=-4（x-2）+（y-1），轉化為：令t=-4（x-2）+（y-1），即y=4x+t-7，利用線性規劃解決問題是關鍵，考查數形結合思想與等價轉化思想的綜合運用，屬于難題．