Question

如圖，⊙O內切于△ABC的邊于D，E，F，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G．
（1）求證：圓心O在直線AD上．
（2）求證：點C是線段GD的中點．

Answer 1

【答案】分析：切線PA和PB，切點分別是A和B根據切線的性質和圓周角定理，四邊形內角和是360度即可求得劣弧AB的度數．
解答：證明：（1）∵AB=AC，AF=AE
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CD=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分線
∴圓心O在直線AD上．（5分）
（II）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，
∴∠DHF=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O與AC相切于點F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴點C是線段GD的中點．（10分）
點評：本題利用了切線的性質，四邊形的內角和為360度及圓周角定理求解．