Question

15．設α∈（0，π），sin α+cos α=$\frac{1}{3}$，則cos 2α的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{9}$
• B． $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$
• C． -$\frac{\sqrt{17}}{9}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{9}$或-$\frac{\sqrt{17}}{9}$

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，可得2sinαcosα＜0，得到α∈（$\frac{π}{2}，π$），則sinα＞0，cosα＜0，進一步求得sinα-cosα，與原等式聯立求出sinα，代入二倍角余弦求解．

解答 解：由sin α+cos α=$\frac{1}{3}$，兩邊平方得$si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα=\frac{1}{9}$，
∴$2sinαcosα=-\frac{8}{9}$，
又α∈（0，π），∴α∈（$\frac{π}{2}，π$），
則sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}=\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\sqrt{1+\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{17}}{3}$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{3}}\\{sinα-cosα=\frac{\sqrt{17}}{3}}\end{array}\right.$，得sinα=$\frac{\sqrt{17}+1}{6}$．
∴cos2α=1-2sin²α=1-2×$（\frac{\sqrt{17}+1}{6}）^{2}$=$-\frac{\sqrt{17}}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查二倍角的余弦，關鍵是由已知可得α∈（$\frac{π}{2}，π$），是中檔題．