Question

【題目】設橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 直線l的斜率的取值范圍為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓標準方程，只需確a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化簡條件： ，即M再OA的中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關系，聯立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據，列等量關系即可求出直線斜率的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）解：設，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）解：設直線的斜率為（），則直線的方程為.

設，由方程組，消去，整理得.

解得，或，由題意得，從而.

由（Ⅰ）知，，設，有 ，.

由，得，所以，解得.

因此直線的方程為.

設，由方程組消去，解得.

在中，，即，

化簡得，即，解得或.

所以，直線的斜率的取值范圍為.