Question

已知數列{a_n}滿足，a₁=0．
（1）計算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）根據以上計算結果猜想{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）由和a₁=0，得，，，．（4分）
（2）由以上結果猜測：（6分）
用數學歸納法證明如下：
（Ⅰ）當n=1時，左邊=a₁=0，右邊=，等式成立．（8分）
（Ⅱ）假設當n=k（k≥1）時，命題成立，即成立．
那么，當n=k+1時，
這就是說，當n=k+1時等式成立．
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜測對于任意正整數n都成立．（12分）
分析：（1）由和a₁=0，代入計算，可求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想{a_n}的通項公式，再用數學歸納法證明，關鍵是假設當n=k（k≥1）時，命題成立，即成立，利用遞推式，證明當n=k+1時，等式成立．
點評：本題考查數列的通項，考查歸納猜想，考查數學歸納法的運用，屬于中檔題．