Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（3，3），點C在第二象限，且△ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形．點P（x，y）在△ABC三邊圍城的區域內（含邊界）．
（1）若 + + = 求| |；
（2）設 =m +n （m，n∈R），求m+2n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設C（a，b），a＜0，b＞0，

∵A（1，1），B（3，3），

∴ =（2，2）， =（a﹣1，b﹣1），

∵△ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形，

∴| |=| |， =0，

∴ ，

解得a=﹣1，b=3

∴C（﹣1，3），

設P（x，y），

∵ + + = ，

∴（1﹣x，1﹣y）+（3﹣x，3﹣y）+（﹣1﹣x，3﹣y）=（0，0），

∴3﹣3x=0，7﹣3y=0

∴x=1，y= ，

∴P（1， ），

∴| |= =

（2）解：∵ =（﹣2，2）， =m +n （m，n∈R），

∴（x，y）=m（2，2）+n（﹣2，2）=（2m﹣2n，2m+2n），

∴x=2m﹣2n，y=2m+2n，

∴m= （x+y），2n= （y﹣x），

∴m+2n=﹣ x+ y，

設z=3y﹣x，直線z=3y﹣x經過點C（﹣1，3）時，z取得最大值，

即m+2n= + ×3=

【解析】（1）設C（a，b），a＜0，b＞0，根據向量的坐標運算和向量的模，以及向量的垂直的條件求出點C的坐標，再根據向量的加減運算求出P的坐標，問題得以解決，（2）根據向量的坐標運算，以及線性規劃，即可求出答案．
【考點精析】通過靈活運用平面向量的基本定理及其意義，掌握如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使即可以解答此題．