Question

已知g（x）是各項系數均為整數的多項式，f（x）=2x²-x+1，且滿足f[g（x）]=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，則g（x）的各項系數和為（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

Answer 1

【答案】分析：先g（x）=x²+ax+b，進而可知g（x）的各項系數和為1+a+b=g（1），根據題意根據2[g（1）]²-g（1）-45=0求得g（1），則答案可得．
解答：解：f（g（x））=2[g（x）]²-g（x）+1=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，
依題意，可設g（x）=x²+ax+b，
∴g（x）的各項系數和為1+a+b=g（1）；而2[g（1）]²-g（1）+1=2•1⁴+4•1³+13•1²+11•1+16，
∴2[g（1）]²-g（1）-45=0．
∴或5
∵g（x）是各項系數均為整數的多項式，故g（1）不可能是分數，舍去），
∴g（1）=5，
故選B．
點評：函數是高中數學的一條主線，因而在高考中占有極其重要的地位．本題是函數符號運用的綜合題，需要學生具有一定的探究和想象能力．