Question

長為3的線段兩端點A，B分別在x軸正半軸和y軸的正半軸上滑動，，點P的軌跡為曲線C.

（1）以直線AB的傾斜角為參數，求曲線C的參數方程；

（2）求點P到點距離的最大值.

 

Answer 1

（1）（α為參數，90?＜α＜180?）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查參數方程、兩點間距離公式、直角三角形中的正弦、余弦值的計算、平方關系、配方法、三角函數的有界性等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、數形結合的能力、計算能力.第一問，設出點P的坐標，在三角形AOB中，利用正弦公式、余弦公式計算x，y的值，得到曲線C的參數方程，注意角的取值范圍；第二問，利用第一問求出的點P坐標的x，y值，用兩點間距離公式得到表達式，利用平方關系、配方法、三角函數的有界性求表達式的最值.

試題解析：（1）設P(x，y)，由題設可知，

則x＝|AB|cos(?－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin(?－α)＝sinα，

所以曲線C的參數方程為（α為參數，90?＜α＜180?）． 5分

（2）由（1）得

|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4

＝－3sin2α＋4sinα＋8＝．

當時，|PD|取最大值． 10分

考點：參數方程、兩點間距離公式、直角三角形中的正弦、配方法、三角函數的有界性.