已知橢圓
的方程為
,其中
.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點
，證明：點在一個定圓上.
（1）
；（2）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、韋達定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，根據橢圓的標準方程應滿足的條件得:
，且
，則知橢圓的長軸在y軸上，而橢圓形狀最圓時e最小，則先得到e的表達式，再根據三角函數的有界性求表達式的最小值，得到取得最小值時的
的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設出交點P的坐標，根據直線的斜率是否存在，分2種情況討論，當斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯立，得到關于k的方程，由于兩切線垂直，則
，利用上述方程的兩根之積得到
的值，整理出方程形式，再驗證當斜率不存在時P點坐標，得到最終結論.
試題解析：（1）根據已知條件有，且，故橢圓的長軸在
軸上.
，當且僅當
時取等號.
由于橢圓的離心率
最小時其形狀最圓，故最圓的橢圓方程為. 5分
（2）設交點
，過交點的直線
與橢圓相切.
(1)當斜率不存在或等于零時，易得點的坐標為
. 6分
(2)當斜率存在且非零時，則
設斜率為
，則直線：
，
與橢圓方程聯立消，得：
.
由相切，
，
化簡整理得
.①
因過橢圓外一點有兩條直線與橢圓相切，由已知兩切線垂直，故
，而
為方程①的兩根，
故
，整理得：
.
又也滿足上式，
故點的軌跡方程為
，即點在定圓上. 13分
考點：橢圓的標準方程及其幾何性質、韋達定理.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
，過點
作直線
(不與
軸重合)交橢圓于
、
兩點，連結
、
分別交直線
于
、
兩點，試探究直線
、
的斜率之積是否為定值，若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C：
，點A、B在拋物線C上.
（1）若直線AB過點M（2p，0），且
=4p，求過A，B，O（O為坐標原點）三點的圓的方程；
（2）設直線OA、OB的傾斜角分別為
，且
，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
巳知橢圓
的離心率是
.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線
，使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（1）已知定點
、
，動點N滿足
（O為坐標原點），
，
，
，求點P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓
的上、下頂點分別為
，點
在橢圓上，且異于點，直線
與直線
分別交于點
，
（ⅰ）設直線的斜率分別為
、
，求證：
為定值；
（ⅱ）當點運動時，以
為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦距為
，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為
，
為坐標原點.
（1）求橢圓
的方程.
（2）設斜率為
的直線
與相交于
、
兩點，記
面積的最大值為
，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
，其長軸長與短軸長的和等于6．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設橢圓的上、下頂點分別為
，
是橢圓上異于的任意一點，直線
分別交
軸于點
，若直線
與過點
的圓
相切，切點為
．證明：線段的長為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，經過點M
的直線l與曲線E交于點A、B，且
＝－2
.
(1)若點B的坐標為(0，2)，求曲線E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線AB的方程．
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