Question

已知函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的單調增區間是（0，1），求m的值；
（2）當x∈[-1，1]時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1其中m＜0，對其進行求導，因為f（x）的單調增區間是（0，1），說明f′（x）≥0，在（0，1）上恒成立，從而求出m的值；
（2）設M（x₀，y₀）為y=f（x）（-1≤x≤1）圖象上任意一點，切線斜率K=f′（x）=3m

x

2 0

-6（m+1）x₀+（3m+6）＞3m，將問題轉化為3m

x

2 0

-6（m+1）x₀+6＞0在x₀∈[-1，1]，m＜0）則（g（x₀））_min＞0，再利用導數研究函數的最值問題，求m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=3mx²-6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因為f（x）的增區間是（0，1）
則f′（x）=3mx²-6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集為（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m-6（m+1）+3m+6=0
解得m=-2                                             （4分）
（2）設M（x₀，y₀）為y=f（x）（-1≤x≤1）圖象上任意一點
切線斜率K=f′（x）=3m

x

2 0

-6（m+1）x₀+（3m+6）＞3m，
即3m

x

2 0

-6（m+1）x₀+6＞0在x₀∈[-1，1]，m＜0）則（g（x₀））_min＞0，
g（x₀）=3m

x

2 0

-6（m+1）x₀+6的對稱軸為x₀=

m+1

m

=1+

1

m

＜1
①當1+

1

m

≤0即-1≤m＜0時，（g（x₀））_min=g（1）=-3m＞0，∴-1≤m＜0；
②當0＜1+

1

m

＜1即m＜-1時，（g（x₀））_min=g（-1）=9m+12＞0，此時無解，
綜上所述：m的取值范圍：（-1，0）；

點評：此題主要利用導數研究函數的單調性及其最值問題，第二問用到了轉化的思想，這是一道綜合性比較強的題，為一道中檔題；