Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中點，截面DAN交PC于M．

(Ⅰ)求PB與平面ABCD所成角的大小；

(Ⅱ)求證：PB⊥平面ADMN；

(Ⅲ)求以AD為棱，PAD與ADMN為面的二面角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：(I)取AD中點O，連結PO，BO． 　　△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，　　　　1分 　　又因為平面PAD⊥平面ABCD， 　　所以PO⊥平面ABCD，　　　　 2分 　　BO為PB在平面ABCD上的射影， 　　所以∠PBO為PB與平面ABCD所成的角　　　　3分 　　由已知△ABD為等邊三角形，所以PO＝BO＝， 　　所以PB與平面ABCD所成的角為45°．　　　　4分 　　(Ⅱ)△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，　　　　5分 　　又，PA＝AB＝2，N為PB中點，所以AN⊥PB，　　　　6分 　　所以PB⊥平面ADMN．　　　　8分 　　(Ⅲ)連結ON，因為PB⊥平面ADMN，所以ON為PO在平面ADMN上的射影， 　　因為AD⊥PO，所以AD⊥NO，9分 　　故∠PON為所求二面角的平面角．10分 　　因為△POB為等腰直角三角形，N為斜邊中點，所以∠PON＝45°， 　　即所求二面角的大小為45°　　　　12分 　　解法二：(Ⅰ)同解法一 　　(Ⅱ)因為PO⊥平面ABCD， 　　所以PO⊥BO，△ABD是正三角形，所以AD⊥BO， 　　以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，　　　　5分 　　由已知O(0，0，0)，B(0，，0，)，P(0，0，)，A(1，0，0)，D(－1，0，0)，N(0，)，所以 　　，　　　　6分 　　所以，　　　　7分 　　所以AD⊥PB，AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN，　　　　8分 　　(Ⅲ)因為AD⊥PB，AD⊥BO，所以AD⊥平面POB，所以ON⊥AD， 　　又PO⊥AD，所以故∠PON為所求二面角的平面角．　　　　10分 　　因為 　　設所求二面角為，則，　　　　11分 　　所以＝45°，即所求二面角的大小為45°．　　　　12分