Question

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．則橢圓C的標準方程為

x2

25

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：條件中給出一個直線系，需要先求出直線所過的定點，根據定點是橢圓的焦點，及橢圓C上的點到點F的最大距離為8，寫出橢圓中三個字母系數要滿足的條件，解方程組得到結果，寫出橢圓的方程．

解答：解：由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
由

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

，解得F（3，0）．
設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

解得 a=5，b=4，c=3，
從而橢圓C的標準方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
故答案為：

x2

25

+

y2

16

=1

點評：本題考查直線與圓錐曲線之間的關系，題目中首先求橢圓的方程，這是這類題目常用的一種形式，屬于基礎題．