Question

定義在R上的函數y=f（x），對任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），當x＞0時，有f（x）＞1，其中f（1）=2，
（1）求證：f（0）=1；
（2）求f（-1）的值并判斷該函數的奇偶性；
（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．

Answer 1

分析：（1）令b=0，可求得f（a）=0或f（0）=1，分類討論即可證得f（0）=1；
（2）令a=x，b=-x，結合f（0）=1可求得f（-x）=

1

f(x)

，從而可求f（1）=2，f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

，可判斷該函數的奇偶性；
（3）利用單調性的定義，先證明原函數y=f（x）在R上是單調遞增函數，再利用函數的單調性求不等式f（x+1）＜4的解集．

解答：解：（1）證明：因為對任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），
∴令a=1，b=0，則f（1）=f（1）•f（0），即2=2f（0），
∴f（0）=1．
（2）令a=x，b=-x，則有f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（-x）=

1

f(x)

，
∵f（1）=2，
∴f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

從而可知f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1）所以原函數既不是奇函數，也不是偶函數．
（3）先證明y=f（x）在R上是單調遞增函數．
設x₁、x₂∈R且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]
=f（x₁）-f（x₂-x₁）•f（x₁）
=f（x₁）[1-f（x₂-x₁）]，
∵f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1
∴f（x）與f（-x）同號，又x＞0時f（x）＞1
∴f（x）與f（-x）同為正值，
∴f（x₁）＞0，
又x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x）＞1即1-f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₁）[1-f（x₂-x₁）]＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上為單調遞增函數．
由已知f（1）=2，
∴f（x+1）＜4可變為f（x+1）＜f（1）•f（1），
即f（x+1）＜f（1+1），
∵f（x）在R上為單調遞增函數，
∴x+1＜2，即x＜1．
∴所求不等式的解集為：{x|x＜1}．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，考查函數單調性的證明及應用，（3）中判斷函數f（x）在R上為單調遞增函數是難點，考查轉化思想與推理論證、綜合運算能力，屬于難題．