Question

設集合X是實數集R的子集，如果點x₀∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，稱x₀為集合X的聚點．用Z表示整數集，則在下列集合中：
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；  ②{x|x∈R，x≠0}；③{

1

n

|n∈Z，n≠0}；   ④整數集Z
以0為聚點的集合有（　　）

A．②③

B．①④

C．①③

D．①②④

Answer 1

分析：由已知中關于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．

解答：解：①中，集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}中的元素是極限為1的數列，
除了第一項0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}的聚點
②集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=

a

2

（實際上任意比a小得數都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點
③集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數列，
對于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a
∴0是集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}的聚點
④對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數集Z的聚點
故選A

點評：本題考查的知識點是集合元素的性質，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵．