Question

如圖，已知平面α、β，且α∩β=l．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證．
解答：證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的兩腰，
∴AB，CD必定相交于一點(diǎn)．
如圖，設(shè)AB∩CD=M．
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β．
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即AB，CD，l共點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．（1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．（2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題．實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理．