Question

已知、B、C是橢圓M：上的三點，其中點A的坐標為，BC過橢圓M的中心，且．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點（0，t）的直線l（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設D為橢圓M與y軸負半軸的交點，且，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A的坐標求出a，然后根據求出b，綜合即可求出橢圓M的方程．
（2）根據題意設出直線方程，與（1）中M的方程聯立，然后運用設而不求韋達定理進行計算，求出實數t的取值范圍．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（，）
∴，橢圓方程為                 ①
又∵．，且BC過橢圓M的中心O（0，0），
∴．
又∵，
∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，
易得C點坐標為（，）
將（，）代入①式得b²=4
∴橢圓M的方程為
（2）當直線l的斜率k=0，直線l的方程為y=t
則滿足題意的t的取值范圍為-2＜t＜2
當直線l的斜率k≠0時，設直線l的方程為y=kx+t
由
得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直線l與橢圓M交于兩點P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ②
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ中點H（x，y），
則H的橫坐標，
縱坐標，
D點的坐標為（0，-2）
由，
得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即，
即t=1+3k²．                                       ③
∴k²＞0，∴t＞1．                                 ④
由②③得0＜t＜4，
結合④得到1＜t＜4．
綜上所述，-2＜t＜4．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及橢圓的標準方程問題．涉及直線與橢圓的位置關系，以及熟練運用韋達定理的方法．屬于中檔題．