Question

已知函數f（x）=ax+b，x∈（-1，1），a、b∈R是常數．
（1）若a是從-2、-1、0、1、2五個數中任取的一個數，b是從0、1、2三個數中任取的一個數，求函數y=f（x）為奇函數的概率．
（2）若a是從區間[-2，2]中任取的一個數，b是從區間[0，2]中任取的一個數，求函數y=f（x）有零點的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，可以列舉法來解題，函數f（x）=ax+b，x∈[-1，1]為奇函數得到b=0，列舉出基本事件，滿足條件的事件是函數f（x）=ax+b，x∈[-1，1]有零點，列舉出所有事件，根據古典概型公式得到結果．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，構成事件A的區域為{（a，b）|a=b=0}∪{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且（a+b）（b-a）＜0}，做出面積，求出比值．
解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，可以列舉法來解題，
函數f（x）=ax+b，x∈[-1，1]為奇函數，
當且僅當?x∈[-1，1]，f（-x）=-f（x），即b=0，
基本事件共15個：（-2，0）、（-2，1）、（-2，2）、（-1，0）、（-1，1）、（-1，2）、（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、（2，0）、（2，1）、（2，2），
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，
事件A即“函數f（x）=ax+b，x∈[-1，1]有零點”
包含的基本事件有5個：（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）
∴事件A發生的概率為．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，
∵試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，區域面積為4×2=8，
構成事件A的區域為{（a，b）|a=b=0}∪{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且（a+b）（b-a）＜0}，
即，
區域面積為，
∴事件A發生的概率為．
點評：本題主要考查古典概型和幾何概型，解決古典概型問題時最有效的工具是列舉，大綱中要求能通過列舉解決古典概型問題，也有一些題目需要借助于排列組合來計數．