Question

（本題滿分14分）設橢圓的左、右焦點分別為F₁與

 

F₂，直線過橢圓的一個焦點F₂且與橢圓交于P、Q兩點，若的周長為。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C經過伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切

 

且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標原點）

 

Answer 1

【答案】

（1）依題意與軸交于點F₂（1，0）即     （1分）

又

所以

 所以橢圓C的方程為   （4分）

（2）依題意曲線的方程為即圓   （5分）

因為直線與曲線相切，

所以，即         （6分）

由得

設  所以，所以           （7分）

所以     （8分）

所以

又，             所以   （9分）

所以    又，       所以，

所以   （10分）

又

設    因為，所以

   在上為遞增函數，

所以   又O到AB的距離為1，

所以

即的面積的取值范圍為    （14分）

【解析】略