Question

設有一個體積為54的正四面體，若以它的四個面的中心為頂點做一個四面體，則所作四面體的體積為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：設體積為54的正四面體的棱長為a，由此可得BD=a，由中位線定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

a，又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

a，從而得出兩個正四面體的相似比，即可得出所作四面體的體積．

解答：解：設體積為54的正四面體的棱長為a，如圖，
G，H分別是BC，CD的中點，E，F分別是三角形ABC，ACD的重心，BD=a，
由中位線定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

a，
又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

a，
故所作四面體與原四面體相似，相似比為

1 3 a

a

=

1

3

它們的體積比為(

1

3

)3，
則所作四面體的體積為(

1

3

)3×54=2
故選B．

點評：本小題主要考查棱錐，棱柱、棱錐、棱臺的體積等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．