在四棱錐
中，
平面
，
,
.
(Ⅰ)求證：
；
(Ⅱ)求
與平面
所成角的正弦值；
(Ⅲ)線段
上是否存在點
,使
平面？說明理由.
證明：(Ⅰ)在四棱錐中，因為平面，
平面,
所以
. 因為
， 所以
.
因為
, 所以
平面
.
因為
平面,所以.
(Ⅱ) 如圖，以
為原點建立空間直角坐標系
. 不妨設
，則
.
則
.
所以
，
.
設平面的法向量
.
所以 
.即
.
令
，則
.
所以
所以
所以與平面所成角的正弦值為
.
(Ⅲ)（法一）當為線段的中點時,平面.
如圖：分別取
的中點
,連結
.
所以
,且
. 因為
且
，
所以
且
. 所以四邊形
是平行四邊形.
所以
. 因為
， 所以三角形是等腰三角形.
所以
. 因為平面， 所以
.
因為
, 所以
平面. 所以平面.
即在線段上存在點,使平面.
（法二）設在線段上存在點,當
時，平面.
設
，則
.所以
.
即
.所以
.
所以
.由(Ⅱ)可知平面的法向量.
若平面，則
.即
.解得
.
所以當
，即為中點時，平面.
科目：高中數學 來源：2011年江蘇省普通高中招生考試數學 題型：解答題
（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐
中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點
求證：（1）直線EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年甘肅省蘭州市高三第一次（3月）診斷考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，
平面
，底面
是菱形，
，
．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年貴州省黔東南州高三第一次高考模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，
平面
，
，
，
．
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）求
與平面
所成角的大小．
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科目：高中數學 來源：2013屆黑龍江省高二上學期期末考試理科數學 題型：解答題
（12分）在四棱錐
中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點
求證：（1）直線EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
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