Question

【題目】已知數列的前n項和為，，且，數列滿足，，其前9項和為63.

(1)求數列和的通項公式；

(2)令，數列的前n項和為，若對任意正整數n，都有，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) an＝n；bn＝n＋2.

(2) .

【解析】分析：（1）由題意結合所給條件可知數列是首項為1，公差為的等差數列，據此計算可得，利用遞推關系式可得.

（2）由（1）裂項求和可得，據此整理計算可得的最小值為.

詳解：（1）由2nSn＋1－2（n＋1）Sn＝n（n＋1），得－＝，

所以數列是首項為1，公差為的等差數列，

因此＝S1＋（n－1）×＝n＋，即Sn＝.

于是an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝n＋1，

所以an＝n.

因為bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，所以數列是等差數列，

由{bn}的前9項和為63，得＝63，

又b3＝5，所以b7＝9，

所以數列{bn}的公差d＝＝1，

則bn＝b3＋（n－3）×1＝n＋2.

（2）由（1）知cn＝＋＝＋＝2＋2（－），

所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2（1－＋－＋－＋…＋－＋－）

＝2n＋2（1＋－－）＝3－2（＋）＋2n，

則Tn－2n＝3－2（＋）.

設An＝Tn－2n＝3－2（＋）.

因為An＋1－An＝3－2（＋）－[3－2（＋）]＝2（－）＝>0，

所以數列{An}為遞增數列，則（An）min＝A1＝.

又因為An＝3－2<3，所以≤An<3.

因為對任意正整數n，Tn－2n∈[a，b]，所以a≤，b≥3，則（b－a）min＝3－＝.