Question

【題目】已知函數f（x）＝2lnx﹣x．

（I）寫出函數f（x）的定義域，并求其單調區間；

（II）已知曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線為l，且l在y軸上的截距是﹣2，求x0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）定義域為（0，+∞）, 單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（2，+∞）；（Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）由對數真數大于零求得函數的定義域，利用導數求得函數的單調區間.（Ⅱ）利用切點的橫坐標求得斜率，由點斜式寫出切線方程，令縱截距為列方程，解方程求得的值.

解：（Ⅰ）函數y＝f（x）的定義域為：（0，+∞）．

∵f（x）＝2lnx﹣x，∴．

令f'（x）＝0，則x＝2．

當x在（0，+∞）上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表

∴函數y＝f（x）的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（2，+∞）．

（Ⅱ）由題意可知：f（x0）＝2lnx0﹣x0，

曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線的斜率為．

∴切線方程為：．

∴．

∴．

∵切線方程為y＝kx﹣2，

∴2lnx0﹣2＝﹣2．

∴x0＝1．