Question

．已知函數f(x)＝(x²＋ax－2a²＋3a)e^x(x∈R)，其中a∈R.

(Ⅰ)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；

(Ⅱ)當時，求函數f(x)的單調區間與極值．

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)當a＝0時，f(x)＝x²e^x，f′(x)＝(x²＋2x)e^x，故f′(1)＝3e.所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e.

(Ⅱ)f′(x)＝[x²＋(a＋2)x－2a²＋4a]e^x.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.

a<，則－2a>a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內是增函數，在(a－2，－2a)內是減函數．

函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.

函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.

 

【解析】略