Question

如圖，在三棱錐中，底面，，是的中點，且，．

（1）求證：平面平面；

（2）當角變化時，求直線與平面所成的角的取值范圍．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法1：（1）     是等腰三角形,

又是的中點      ，         ………..…………1分

又底面                    ………………2分

于是平面．                           ………………3分

又平面     平面平面．      …………4分

（2）過點在平面內作于，連接        ………………5分

則由（1）知AB⊥CH，  ∴CH⊥平面               ………………6分

于是就是直線與平面所成的角            ………………7分

在中，CD=，   ；     ………………8分

設，在中，          ………………9分

               ………………10分

，……11分

又，

即直線與平面所成角的取值范圍為．

 

 

                   ……12分

解法2：（1）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，…1分

于是，，，．

從而，即．…2分

同理，…3分

即．又，平面．

又平面．平面平面. ………4分

 

（2）設直線與平面所成的角為，平面的一個

法向量為，則由．

得   ………………6分

可取，又，

于是，               ………10分

，，．又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

【解析】略