Question

一個平面用n條直線去劃分,最多能被分成幾塊?

Answer 1

解:只有當這些直線互不平行并且沒有兩條以上的直線交于同一點時,才能使分成的塊數為最多.后面,我們假定這兩個條件都滿足,用a_n表示由n條直線劃分平面時所產生的塊數.?

我們從n=1、2、3、4情形入手,然后比較、分析其中的規律性,進而歸納出a_n.?

用實驗的方法可得a₁=2,a₂=4,a₃=7,a₄=11,觀察這個數列,發現可用二次式表?達為??

a₁=,a₂=,a₃=,a₄=,?

由此猜想{a_n}的通項為a_n=.?

上述的具體計算及歸納猜想都不是件容易的事,我們可以歸納出對n條直線都適用的方法(遞推法).?

設n-1條直線把平面分成a_n-1塊,現在我們再添加第n條直線,它與前面n-1條直線相交可得到n-1個交點,這n-1個交點將第n條直線分成n段,每段將其穿過的平面塊一分為二,這樣就比原來多增加了n塊.于是得到遞推公式:a_n=a_n-1+n.?

在上式中分別令n=1,2,…,n,得n個等式?

a₁=1+1,?

a₂=a₁+2,?

…?

a_n=a_n-1+n.?

把它們加起來,得到

a_n=1+(1+2+…+n)

=1+

=.?

因此,一個平面用n條直線去劃分,最多被分成塊.

點評:運用歸納推理需要考察部分對象的情形,從而歸納猜想出一般規律,這樣往往有時計算量大,易出偏差,且內部潛在的規律性有時難于看出來,就用“遞推法”取代“經驗歸納法”,轉向考查問題每遞進一步所反映的規律,即探求遞推關系,最后用初始值及遞推關系來尋找一般規律.