Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩夾角為60°．
（1）求AC₁的長(zhǎng)；
（2）求BD₁與AC夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，則兩兩夾角為60°，且模均為1．根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，我們易得

AC1

=

AC

+

CC1

=

a

+

b

+

c

．我們易根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，求出|

AC1

|的模，即AC₁的長(zhǎng)；
（2）我們求出向量

BD1

，

AC

，然后代入向量夾角公式，即可求出BD₁與AC夾角的余弦值．

解答：解：設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，則兩兩夾角為60°，且模均為1．
（1）

AC1

=

AC

+

CC1

=

AB

+

AD

+

AA1

=

a

+

b

+

c

．
∴|

AC1

|²=（

a

+

b

+

c

）²=|

a

|²+|

b

|²+|

c

|²+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

a

•

c

=3+6×1×1×

1

2

=6，
∴|

AC1

|=

6

，即AC₁的長(zhǎng)為

6

．
（2）

BD1

=

BD

+

DD1

=

AD

-

AB

+

AA1

=

b

-

a

+

c

．
∴

BD1

•

AC

=（

b

-

a

+

c

）•（

a

+

b

）
=

a

•

b

-

a

²+

a

•

c

+

b

²-

a

•

b

+

b

•

c

=1．
|

BD1

|=

( b - a + c )2

=

2

，|

AC

|=

( a + b )2

=

3

，
∴cos＜

BD1

，

AC

＞=

BD1 • AC

| BD1 |•| AC |

=

1

2 × 3

=

6

6

．
∴BD₁與AC夾角的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離運(yùn)算，用空間向量求直線間的夾角，根據(jù)已知條件，構(gòu)造向量，將空間兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為向量模的運(yùn)算，將異面直線的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．