Question

用數學歸納法證明

    1·3·5…(2n－1)·2ⁿ=(2n)(2n－1)(2n－2)…(n+1)(n∈N)

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)當n=1時，左邊=1·21=2，右邊=2·1=2，∴等式成立； (2)設n=k時等式成立，即1·3·5……(2k－1)·2k=(2k)(2k－1)(2k－2)……(k+1)，(k∈N)， 則當n=k+1時， 1·3·5……(2k－1)·(2k+1)·2k+1=[1·3·5…(2k－1)·2k]·(2k+1)·2 =[(2k)(2k－1)(2k－2)…(k+2)(k+1)]·(2k+1)·2 =(2k+2)(2k+1)·2k·(2k－1)·(2k－2)…(k+1)     ∴n=k+1時等式成立。   由(1)、(2)可知，對一切n∈N，等式成立。