Question

一個射箭運動員在練習(xí)時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未擊中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記．該運動員在練習(xí)時擊中10環(huán)的概率為a，擊中9環(huán)的概率為b，既未擊中9環(huán)也未擊中10環(huán)的概率為c（a，b，c∈[0，1）），如果已知該運動員一次射箭擊中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)

10

a

+

1

9b

取最小值時，c的值為（　　）

• A、

  1

  11

• B、

  2

  11

• C、

  5

  11

• D、0

Answer 1

分析：由已知條件知

10a

9

+b=1，由此利用均值定理求出

10

a

+

1

9b

在a=9b時取最小值，由此能求出解得a=

9

11

，b=

1

11

，c=

1

11

．

解答：解：∵該運動員在練習(xí)時擊中10環(huán)的概率為a，擊中9環(huán)的概率為b，
既未擊中9環(huán)也未擊中10環(huán)的概率為c（a，b，c∈[0，1）），
該運動員一次射箭擊中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，
∴10a+9b=9，即

10a

9

+b=1，
∴

10

a

+

1

9b

=（

10

a

+

1

9b

）（

10a

9

+b）=

100

9

+

10a

81b

+

10b

a

+

1

9

≥

101

9

+2

10a 81b • 10b a

=

101

9

+2×

10

9

=

121

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)

10a

81b

=

10b

a

時取“=”，
此時a=9b，解得a=

9

11

，b=

1

11

，c=

1

11

．
故選：A．

點評：考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題，解題時要注意均值定理的合理運用．