Question

已知兩個同學答選擇題的正確率分別為0.6和0.8，而選擇題的評分標準是：答對一個得2分，答錯一個得－1分.給出五個選擇題，限定必須作答，設這兩位同學答對題目的個數分別為隨機變量ξ₁和ξ₂.

（1）試求隨機變量ξ₁和ξ₂的分布列；

（2）試求兩位同學得分的期望和方差.

Answer 1

解：（1）由題意可知對于隨機變量ξ₁，它在每次試驗中發生的概率為P₁=0.6；對于隨機變量ξ₂，它在每次試驗中發生的概率為P₂=0.8，并且都服從二項分布ξ₁～B（5，0.6），ξ₂～B（5，0.8）.所以所求ξ₁、ξ₂的分布列分別為：

P（ξ₁=0）=（0.6）⁰（0.4）⁵=0.01024；

P（ξ₁=1）=（0.6）¹（0.4）⁴=0.0768；

P（ξ₁=2）=（0.6）²（0.4）³=0.2304；

P（ξ₁=3）=C（0.6）³（0.4）²=0.3456；

P（ξ₁=4）=C（0.6）⁴（0.4）¹=0.2592；

P（ξ₁=5）=C（0.6）⁵（0.4）⁰=0.07776；

P（ξ₂=0）=C（0.8）⁰（0.2）⁵=0.00032；

P（ξ₂=1）=C（0.8）¹（0.2）⁴=0.0064；

P（ξ₂=2）=C（0.8）²（0.2）³=0.0512；

P（ξ₂=3）=C（0.8）³（0.2）²=0.2048；

P（ξ₂=4）=C（0.8）⁴（0.2）¹=0.4096；

P（ξ₂=5）=C（0.8）⁵（0.2）⁰=0.32768.

將其概率分布列表如下：

ξ1	0	1	2	3	4	5
P	0.01024	0.0768	0.2304	0.3456	0.2592	0.07776

 

ξ2	0	1	2	3	4	5
P	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32768

（2）由題意可設這兩位同學的得分為另外兩個隨機變量η₁和η₂，并且易知隨機變量η₁和η₂與隨機變量ξ₁和ξ₂有如下關系：

η₁=2ξ₁+（－1）（5－ξ₁）=3ξ₁－5，

η₂=2ξ₂+（－1）（5－ξ₂）=3ξ₂－5.

所以Eη₁=E（3ξ₁－5）=3Eξ₁－5，

Eη₂=E（3ξ₂－5）=3Eξ₂－5，

Dη₁=D（3ξ₁－5）=3²Dξ₁，

Dη₂=D（3ξ₂－5）=3²Dξ₂.

又因為ξ₁～B（5，0.6），ξ₂～B（5，0.8），

所以Eξ₁=5×0.6=3，

Eξ₂=5×0.8=4，

Dξ₁=5×0.6×0.4=1.2，

Dξ₂=5×0.8×0.2=0.8.

那么Eη₁=E（3ξ₁－5）=3Eξ₁－5=3×3－5=9－5=4，

Eη₂=E（3ξ₂－5）=3Eξ₂－5=3×4－5=12－5=7，

Dη₁=D（3ξ₁－5）=3²Dξ₁=9×1.2=10.8，

Dη₂=D（3ξ₂－5）=3²Dξ₂=9×0.8=7.2.